پست پیشرفته

sama11 نوشت:

برای یک سوال استدلال استقرایی درجه سخت، می‌توانیم از مسئله‌ای که شامل ریاضیات پیچیده‌تر است استفاده کنیم. در اینجا یک سوال با گزینه‌های پاسخ آورده شده است:

سوال:
فرض کنید
[P(n)](https://x.com/i/grok?text=P(n))
بیانگر صحت عبارت زیر برای هر عدد صحیح مثبت
n
باشد:
P(n): \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2

با استفاده از استقرای ریاضی، کدام یک از گزینه‌های زیر برای اثبات
P(n)
نادرست است؟

گزینه‌ها:
A. قدم پایه:
P(1)
درست است زیرا
1^3 = \left( \frac{1(1+1)}{2} \right)^2
.

B. فرض استقرایی: فرض کنیم
P(k)
برای یک
k \geq 1
درست باشد، یعنی
\sum_{i=1}^{k} i^3 = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2
.

C. گام استقرایی: برای
P(k+1)
داریم:
\sum_{i=1}^{k+1} i^3 = \sum_{i=1}^{k} i^3 + (k+1)^3

و با فرض استقرایی، این برابر است با:
\left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 + (k+1)^3

که با ساده‌سازی به
\left( \frac{(k+1)(k+2)}{2} \right)^2
می‌رسیم.

D. نتیجه‌گیری: از آنجا که
P(1)
درست است و اگر
P(k)
درست باشد،
P(k+1)
هم درست خواهد بود، پس
P(n)
برای همه
n \geq 1
درست است.

پاسخ:
گزینه‌ای که نادرست است C است.

دلیل: گام استقرایی در گزینه C به درستی بیان نشده است. ساده‌سازی فرمول در گام استقرایی باید به این صورت باشد:
\left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 + (k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4} = \left( \frac{(k+1)(k+2)}{2} \right)^2

بنابراین، گزینه C به شکل نادرستی ساده‌سازی شده است.